刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。

许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。

一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。

把一个平面（或立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。

基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。

刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

逻辑定义

刘徽对《九章算术》中的所有数学概念都做了解释或逻辑定义，在解释和定义中，他非常注意数学推理的逻辑性，充分考虑各问题之间的逻辑关系. 在“勾股”章的注释中，明确指出：这一章之所以一开头就提出了勾股定理，是因为“将以施于诸率，故先具此术，以见其源也”。

刘徽用这一精彩的论述，从“逻辑”角度注释了勾股定理出现在“勾股”章开头的必要性. 刘徽认为有些问题不能只限于感性认识，必须在感性认识的基础上提升到理性认识的层面，并在理性认识的基础上形成数学理论. 因而，他从逻辑严谨性出发，对于那些能从逻辑上证明的法则都进行了论证。

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